Phép biến đổi Laplace

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân, và cùng với biến đổi Fourier, là hai phép biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua phép biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua phép biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.

Mục lục

1 Lịch sử
2 Định nghĩa
- 2.1 Phép biến đổi Laplace hai phía
- 2.2 Phép biến đổi Laplace ngược
3 Tính chất hàm gốc
4 Tính chất của phép biến đổi Laplace
- 4.1 Phép biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm
- 4.2 Liên hệ với các phép biến đổi khác
5 Bảng các phép biến đổi Laplace
6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s
7 Ứng dụng các tính chất và định lý của phép biến đổi Laplace
8 Xem thêm
9 Những Liên kết ngoài

[sửa] Lịch sử

Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân

$z= \int X(x)e^{ax}dx$ và $z= \int X(x)x^{A}dx$

để giải các phương trình vi phân.

Joseph Louis Lagrange , người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân

$\int X(x)e^{ax}a^xdx$

Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các phép biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân

$\int x^s \Phi\ (s) dx$

- tương tự với phép biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của phép biến đổi Laplace.

Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong 1 vùng không gian giới hạn

[sửa] Định nghĩa

Giả sử f là một hàm function (có thể là hàm phức) của biến số thực real numbers t (t ≥ 0) sao cho tích phân $\int_{0}^\infty f(t)e^{-st} dt$ hội tụ ít nhất với một số phức s = a + ib, thì khi đó ảnh của hàm f qua phép biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau

$F(s)=L\left\{f(t),s\right\}=\int_{0}^\infty e^{-st}dt$

Một số trường hợp để đảm bảo cho cả những trường hợp hàm gốc f(t) không xác định tại t=0, ta có thể định nghĩa một cách chính xác hơn.

$F(s)=L\left\{f(t),s\right\}=\int_{0}^\infty e^{-st}dt$

[sửa] Phép biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói “Phép biến đổi Lalace” mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến phép biến đổi một phía. Phép biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là phép biến đổi hai phía two-sided Laplace transform bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực.

$F(s)=L\left\{f(t),s\right\}=\int_{-\infty}^\infty e^{-st}dt$

Nếu như vậy, phép biến đổi một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside. Heaviside step function.

[sửa] Phép biến đổi Laplace ngược

Phép biến đổi Laplace ngược Inverse Laplace transform. giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p). Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.

$L^{-1} \left\{F(s)\right\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma -i \infty}^{\gamma +i \infty}e^{st}F(s)ds$

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng “các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng” đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).

[sửa] Tính chất hàm gốc

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân $\int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$ hội tụ ít nhất với một số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân $\int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$ tồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).

Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.

f(t) = 0, với mọi t < 0.

Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một.

Khi $t \to+\infty$ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho $\left|f(t)\right|\le e^{st}, \forall t >0$ Khi đó s_o = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm e^st để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).

[sửa] Tính chất của phép biến đổi Laplace

Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

$f(t)=L^{-1}\left\{F(s)\right\}$

$g(t)=L^{-1}\left\{G(s)\right\}$

Sau đây là bảng các tính chất của phép biến đổi Laplace:

	Hàm gốc	Hàm ảnh
Tuyến tính	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$
Đạo hàm hàm ảnh	$t f(t) \$	$-F'(s) \$
Đạo hàm hàm ảnh (tổng quát)	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$
Đạo hàm hàm gốc	$f'(t) \$	$s F(s) - f(0^-) \$
Đạo hàm bậc 2	$f''(t) \$	$s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \$
Tổng quát	$f^{(n)}(t) \$	$s^n F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-) \$
Tích phân hàm ảnh	$\frac{f(t)}{t} \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$
Tích phân hàm gốc	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)$	${1 \over s} F(s)$
Đồng dạng	$f(at) \$	${1 \over \|a\|} F \left ( {s \over a} \right )$
Biến đổi hàm ảnh	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
Biến đổi hàm gốc	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$
Phép nhân chập	$(f * g)(t) \$	$F(s) \cdot G(s) \$
Hàm tuần hoàn	$f(t) \$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$

Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$ , trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

[sửa] Phép biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của phép biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với phép biến đổi Laplace như sau:

$\mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt$

$~~ = \left[ \frac{f(t)e^{-st}}{-s} \right]_{0^-}^{+\infty} - \int_{0^-}^{+\infty} \frac{e^{-st}}{-s} f'(t)dt$ (Từng phần)

$~~ = \left[-\frac{f(0)}{-s}\right] + \frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{f'(t)\right\},$

$\mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0),$

Trong trường hợp 2 bên, ta có

$\mathcal{L}\left\{ { df \over dt } \right\} = s \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \}.$

[sửa] Liên hệ với các phép biến đổi khác

[sửa] Phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier liên tục continuous Fourier transform tương đương với giá trị của phép biến đổi Laplace 2 bên với argument là số phức s = iω hay $s = 2π f i$

$\begin{array}{rcl} F(\omega) & = & \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = & \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = & \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{array}$

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ , điều này được tính đến trong định nghĩa của phép biến đổi Fourier.

Mối quan hệ này giữa phép biến đổi Laplace và Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system).

[sửa] Phép biến đổi Mellin

Phép biến đổi Mellin Mellin transform và phép nghịch đảo của nó liên hệ với phép biến đổi Laplace 2 bên bằng cách thay đổi biến.Trong phép biến đổi Mellin.

$G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int_0^\infty \theta^s g(\theta) \frac{d\theta}{\theta}$

Ta đặt θ = e^-t, ta sẽ thu được phép biến đổi Laplace 2 bên.

[sửa] Phép biến đổi Z

Phép biến đổi Z Z-transform là phép biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế

$z \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{s T} \$ , với $T = 1/f_s \$ là chu kỳ (đơn vị là giây), và $f_s \$ là tần số (đơn vị là hertz)

đặt

$\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)$ là xung lực thử (còn gọi là lược Dirac Dirac comb).

và

$x_q(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ x(t) \Delta_T(t) = x(t) \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)$

$= \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T)$

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn $x[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ x(nT) \$ là biểu diễn sự rời rạc của x(t).

Phép biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x_q(t) là

$X_q(s) = \int_{0^-}^{\infty} x_q(t) e^{-s t} \,dt$

$\ = \int_{0^-}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt$

$\ = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \int_{0^-}^{\infty} \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt$

$\ = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] e^{-n s T}.$

Đây là định nghĩa chính xác của phép biến đổi Z Z-transform đối với hàm x[n].

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$ (thay $z \leftarrow e^{s T} \$ )

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa phép biến đổi Z và phép biến đổi Laplace của tín hiệu thử

$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$

[sửa] Phép biến đổi Borel

Dạng tích phân của phép biến đổi Borel Borel transform có liên hệ với phép biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Phép biến đổi Borel tổng quát generalized Borel transform tạo ra phép biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.

[sửa] Mối quan hệ cơ bản

Từ phép biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi 2 bên, và từ phép biến đổi 2 bên có thể xem như là tổng của hai phép biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các phép biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng phép biến đổi đối với phép biến đổi tích phân.

[sửa] Bảng các phép biến đổi Laplace

Vì phép biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

Phép biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các phép biến đổi Laplace của các số hạng

$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Phép biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho phép biến đổi Laplace của hàm đó

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

Tính đơn ánh của phép biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm nhảy Heaviside u(t).

Bảng cung cấp những phép biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến.

STT

Hàm (Function)

Hàm gốc (miền t)
$x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$

Hàm ảnh (miền s)
$X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$

Miền hội tụ

1

ideal delay

$\delta(t-\tau) \$

$e^{-\tau s} \$

1a

unit impulse

$\delta(t) \$

$1 \$

mọi s

2

delayed nth power
with frequency shift

$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$

$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

2a

nth power
( for integer n )

${ t^n \over n! } \cdot u(t)$

${ 1 \over s^{n+1} }$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

2a.1

qth power
( for real q )

${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$

${ 1 \over s^{q+1} }$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

2a.2

unit step

$u(t) \$

${ 1 \over s }$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

2b

delayed unit step

$u(t-\tau) \$

${ e^{-\tau s} \over s }$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

2c

ramp

$t \cdot u(t)\$

$\frac{1}{s^2}$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

2d

nth power with frequency shift

$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$

$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$

$\textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \,$

2d.1

exponential decay

$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$

${ 1 \over s+\alpha }$

$\textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \$

3

exponential approach

$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$

$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0\$

4

sine

$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \$

5

cosine

$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 + \omega^2 }$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \$

6

hyperbolic sine

$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$

$\textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \$

7

hyperbolic cosine

$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 - \alpha^2 }$

$\textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \$

8

Exponentially-decaying
sine wave

$e^{\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 }$

$\textrm{Re} \{ s \} > \alpha \$

9

Exponentially-decaying
cosine wave

$e^{\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s-\alpha \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 }$

$\textrm{Re} \{ s \} > \alpha \$

10

nth root

$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$

$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

11

natural logarithm

$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$

$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

12

Bessel function
of the first kind,
of order n

$J_n( \omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
$(n > -1) \,$

13

Modified Bessel function
of the first kind,
of order n

$I_n(\omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$

$\textrm{Re} \{ s \} > | \omega | \,$

14

Bessel function
of the second kind,
of order 0

$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$

$-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

15

Modified Bessel function
of the second kind,
of order 0

$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$

16

Error function

$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$

${e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$

$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$

chú thích:

$u(t) \,$ là hàm bước nhảy Heaviside (Heaviside step function).
$\delta(t) \,$ là hàm delta Dirac (Dirac delta function).
$\Gamma (z) \,$ là hàm Gamma (Gamma function).
$\gamma \,$ là hằng số Euler-Mascheroni (Euler-Mascheroni constant).

$t \,$ , đặc trưng cho thời gian (số thực).
$s \,$ là tần số góc (số phức complex angular frequency và Re(s) là phần thực real part của s).
$\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ , và $\omega \,$ là các số thực real numbers.
$n \,$ , là số mũ integer.

[sửa] Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

Phép biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s

Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s

Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC

$V R (s) = R . I (s)$

$V L (s) = s . L . I (s) - L . I o$

$V_C (s)= \frac{1}{s.C}I(s) + \frac{V_o}{s}$

Chú ý : đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)

[sửa] Ứng dụng các tính chất và định lý của phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học . Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.

Phép biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện. Phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside .

Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

[sửa] Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử

Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ (1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s)

$λ$ : hằng số phân rã

Ta sẽ sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình này

Từ (1) ta có

$\frac{dN}{dt} + \lambda N = 0$

Thực hiện phép biến đổi Laplace cho cả 2 vế của phương trình

$\left( s \tilde{N}(s) - N_o \right) + \lambda \tilde{N}(s) \ = \ 0$

Với $\tilde{N}(s) = \mathcal{L}\{N(t)\}$

$N_o \ = \ N(0).$

Giải phương trình ta có

$\tilde{N}(s) = { N_o \over s + \lambda }.$

Cuối cùng ta thực hiện phép biến đổi ngược để chuyển về miền t

$N(t) \ = \mathcal{L}^{-1} \{\tilde{N}(s)\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{N_o}{s + \lambda} \right\}$

[sửa] Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lí thuyết giải tích mạch điện

Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

$i_R (t)=\frac{V_R (t)}{R}$

$i_C (t)=C.\frac{dV_C (t)}{dt}$

$V_L (t)=L.\frac{di_L (t)}{dt}$

Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t

Dùng phép biến đổi laplace để chuyển sang miền s

$V R (s) = R . I)(s)$

$V L (s) = s . L . I (s) - L . I o$

$V_C (s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{V_o}{s}$

Với $I(s)=\mathcal{L}{i(t)}$ , $V(s)=\mathcal{L}{v(t)}$

$I o = i (0)$ : dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L

$V o = V C (0)$ : điện áp ban đầu qua tụ điện C

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

$Z(s) = { V(s) \over I(s) } \bigg|_{V_o = 0}.$

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

$Z R (s) = R$

$Z L (s) = s . L$

$Z_C (s)=\frac{1}{sC}$

[sửa] Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập

Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với

$h (t) = A e - α t cos(ω d t - φ d)$ (1)

$\omega_d t - \phi_d \ge 0$

$0 \le \phi_d \le 2 \pi$ : sự trễ pha

Ta biến đổi (1)

$h(t) = A e^{- \alpha t} \cos \left[ \omega_d (t - t_d) \right] \cdot u(t - t_d)$

Với $t_d = { \phi_d \over \omega_d }$ : thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước nhảy Heviside.

Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng phép biến đổi Laplace đối với hàm h(t)

$H(s) \ = \ \mathcal{L} \{ h(t) \} = A e^{-s t_d} {(s + \alpha) \over (s + \alpha)^2 + \omega_d^2 }$

$= \ A e^{-s t_d} {(s + \alpha) \over (s^2 + 2 \alpha s + \alpha^2) + \omega_d^2 }$

$= \ A e^{-s t_d} {(s + \alpha) \over (s^2 + 2 \alpha s + \omega_0^2 ) }$

với $\omega_0 = \sqrt{\alpha^2 + \omega_d^2}$ là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

[sửa] Phương pháp khai triển thừa số riêng phần

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

$H(s) = \frac{1}{(s+\alpha)(s+\beta)}$

$h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ : phép biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)

Để thực hiện phép biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần

$H(s) = \frac{1}{(s+\alpha)(s+\beta)} = { P \over (s+\alpha) } + { R \over (s+\beta) }$

P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức

$\frac{s+\alpha}{s+\beta}=\frac{P(s+\beta)+R(s+\alpha)}{(s+\alpha)(s+\beta)}$

Từ đây suy ra

$P = \left.{1 \over (s+\beta)}\right|_{s=-\alpha} = {1 \over (\beta - \alpha)}$

và

$R = \left.{1 \over (s+\alpha)}\right|_{s=-\beta} = {1 \over (\alpha - \beta)} = {-1 \over (\beta - \alpha)} = - P$

Thay vào H(s) ta tìm được

$H(s) = \left( \frac{1}{\beta-\alpha} \right) \cdot \left( { 1 \over (s+\alpha) } - { 1 \over (s+\beta) } \right)$

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện phép biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)

$h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} = \frac{1}{\beta-\alpha}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right)$

[sửa] Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ

Hàm thời gian	Phép biến đổi Laplace
$e^{-\alpha t}\left[ \cos{(\omega t)}+\left(\frac{\beta-\alpha}{\omega}\right)\sin{(\omega t)}\right]u(t)$	$\frac{s+\beta}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace $X(s) = \frac{s+\beta}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng số vào tử số

$X(s) = \frac{s+\alpha } { (s+\alpha)^2+\omega^2} + \frac{\beta - \alpha }{(s+\alpha)^2+\omega^2}$

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

$x(t) = e^{-\alpha t} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {s \over s^2 + \omega^2} + { \beta - \alpha \over s^2 + \omega^2 } \right\}$

$= e^{-\alpha t} \mathcal{L}^{-1} \left\{ {s \over s^2 + \omega^2} + \left( { \beta - \alpha \over \omega } \right) \left( { \omega \over s^2 + \omega^2 } \right) \right\}$

$= e^{-\alpha t} \left[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ {s \over s^2 + \omega^2} \right\} + \left( { \beta - \alpha \over \omega } \right) \mathcal{L}^{-1} \left\{ { \omega \over s^2 + \omega^2 } \right\} \right]$

Cuối cùng, dùng phép biến đổi Laplace cho hàm sin và cos, ta thu được

$x(t) = e^{-\alpha t} \left[ \cos{(\omega t)}u(t)+\left(\frac{\beta-\alpha}{\omega}\right)\sin{(\omega t)}u(t)\right]$

$x(t) = e^{-\alpha t} \left[ \cos{(\omega t)}+\left(\frac{\beta-\alpha}{\omega}\right)\sin{(\omega t)}\right]u(t)$

[sửa] Sự trễ pha

Hàm thời gian	Phép biến đổi Laplace
$sin(ω t + φ)$	$\frac{s\sin\phi+\omega \cos\phi}{s^2+\omega^2}$
$cos(ω t + φ)$	$\frac{s\cos\phi - \omega \sin\phi}{s^2+\omega^2}$

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

$X(s) = \frac{s\sin\phi+\omega \cos\phi}{s^2+\omega^2}$

Suy ra

$Z(s) = \frac{s \sin \phi}{s^2 + \omega^2} + \frac{\omega \cos \phi}{s^2 + \omega^2}$

$\,\,\,\,\,\,= (\sin \phi) \left(\frac{s}{s^2 + \omega^2} \right) + (\cos \phi) \left(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \right)$

Thực hiện phép biến đổi ngược cho X(s), ta có

$x(t) \,\!$	${} = (\sin \phi) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + \omega^2} \right\} + (\cos \phi) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \right\}$
	${}=(\sin \phi)(\cos \omega t) + (\sin \omega t)(cos \phi). \,\!$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

$a \sin \omega t + b \cos \omega t = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin \left(\omega t + \arctan (b/a) \right)$

"Ta suy ra

$x(t) \,\!$	${} = \sqrt{\cos^2 \phi + \sin^2 \phi} \cdot \sin \left( \omega t + \arctan \left(\frac{\sin \phi}{\cos \phi} \right) \right)$
	${}= \sin (\omega t + \phi) . \,\!$

Tương tự ta cũng nhận được

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s\cos\phi - \omega \sin\phi}{s^2+\omega^2} \right\} = \cos{(\omega t+\phi)}$

[sửa] Xem thêm

[sửa] Những Liên kết ngoài

Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Laplace Transform Module by John H. Mathews
Good explanations of the initial and final value theorems
Laplace and Heaviside at Interactive maths.
Laplace Transform Table and Examples at Vibrationdata.
Laplace Transform Cookbook at Syscomp Electronic Design.

Phép biến đổi Laplace

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Mục lục

[sửa] Lịch sử

[sửa] Định nghĩa

[sửa] Phép biến đổi Laplace hai phía

[sửa] Phép biến đổi Laplace ngược

[sửa] Tính chất hàm gốc

[sửa] Tính chất của phép biến đổi Laplace

[sửa] Phép biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

[sửa] Liên hệ với các phép biến đổi khác

[sửa] Phép biến đổi Fourier

[sửa] Phép biến đổi Mellin

[sửa] Phép biến đổi Z

[sửa] Phép biến đổi Borel

[sửa] Mối quan hệ cơ bản

[sửa] Bảng các phép biến đổi Laplace

[sửa] Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

[sửa] Ứng dụng các tính chất và định lý của phép biến đổi Laplace

[sửa] Giải phương trình vi phân

[sửa] Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

[sửa] Hàm truyền

[sửa] Phương pháp khai triển thừa số riêng phần

[sửa] Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ

[sửa] Sự trễ pha

[sửa] Xem thêm

[sửa] Những Liên kết ngoài

Xem

Công cụ cá nhân

Chuyển hướng

Tìm kiếm

Công cụ

Ngôn ngữ khác